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febbraio 12, 2018 Commenti (1) Fisica, Ingegneria, Ingegneria Meccanica, Matematica, Scienza, Slideshow Evidenza Tempo di Lettura:

Progettiamo una clessidra ad acqua

In questa guida impareremo come ideare una clessidra ad acqua. Tutti conosciamo il funzionamento delle clessidre, quelle classiche dei giochi da tavolo: lo scorrere della “sabbia” contenuta al loro interno indica l’avvenuto passaggio di un certo tempo.

Contrariamente a quanto si possa pensare, non è un’impresa particolarmente complessa quella di progettarne una.

Notazione

Nel seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:

  • \(u_i\) indica la velocità in \(\frac{m}{s}\);
  • \(g\) è la gravità in \(\frac{m}{s^2}\);
  • \(p\) è la pressione in Pascal;
  • \(\rho\) è la densità in \(\frac{kg}{m^3}\);
  • \(t\) è il tempo in \(s\);
  • \(d, D\) sono diametri in \(m\).

Strumenti preliminari

Ciò che ci servirà per poter capire come “progettare” la clessidra sarà la conoscenza di un po’ di calcolo algebrico e differenziale, in aggiunta all’equazione di Bernoulli:

\( \frac{u^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz=cost. \)

Questa equazione è una delle più note della fluidodinamica e, nonostante valga sotto la verifica di numerose ipotesi, nel nostro caso\footnote{Il nostro è un caso di flusso incomprimibile soggetto ad un campo di sole forze conservative (come quello gravitazionale) in condizioni di moto stazionario e in assenza di forze viscose; ultima ma non meno importante delle ipotesi è quella che il flusso venga studiato lungo una linea di corrente (direzione parallela alla velocità) per poter trascurare i termini di vorticità.} tutte saranno soddisfatte consentendoci di giungere alla soluzione.

Idea di partenza

L’idea di partenza per questo progetto è il classico problema del calcolo del tempo di svuotamento di un serbatoio che, per semplicità di pensiero, immagineremo cilindrico. Supponendo di riempire il serbatoio con acqua (la cui densità è praticamente costante, \(\rho=1000 \frac{kg}{m^3}\)) è possibile scrivere l’equazione di Bernoulli tra il cosiddetto {pelo libero} dell’acqua (punto \(A\) in figura 1) e il foro di uscita del recipiente, supposto circolare con diametro \(d\) (punto \(B\) nella stessa figura).

 

 

Partendo da quest’esempio, l’equazione ci dice che:

\( \frac{u_A^2}{2}+\frac{p_A}{\rho}+gz_A=\frac{u_B^2}{2}+\frac{p_B}{\rho}+gz_B \)

cioè che l’energia totale del sistema tra sezione di ingresso \(A\) (il pelo libero) e di uscita \(B\) (il foro) si conserva.
A questo punto, siamo abituati a semplificare l’equazione sopra dicendo che la velocità \(u_A\) è molto minore di \(u_B\) e che quindi la possiamo trascurare\footnote{Vedremo poco più avanti che non è così scontata come semplificazione.}, che vale l’uguaglianza \(p_A=p_B=p_{atm}\) (supponendo di effettuare il progetto in atmosfera) e che \(z_B=0\), ponendo così \(z_A=h\), con \(h\) altezza massima del serbatoio rispetto alla quota di riferimento \(z_B\).

Si ottiene dunque

\(gz_A=\frac{u_B^2}{2}\)
\( u_B=\sqrt{2gh} \)

Precisazioni

Se si osserva bene l’equazione precedente, si vede che la condizione per cui la velocità in uscita dal serbatoio è più una condizione iniziale: infatti, l’altezza del pelo libero dell’acqua sarà \(h\) soltanto all’inizio dello svuotamento, e tale altezza diminuirà mano a mano che il fenomeno prosegue.
Quindi l’altezza \(h\) deve essere intesa come una funzione del tempo, ad esempio esprimibile con \(z(t)\). Quello che otteniamo in realtà è

\( u(t)=\sqrt{2gz(t)} \)

dove abbiamo rimosso il pedice \(B\) per semplificare la notazione.

Da questo risultato vediamo che la velocità di svuotamento non è costante (come l’ipotesi iniziale poteva portarci a pensare) ma varia in funzione dell’altezza che, a sua volta, varia in funzione del tempo. Il problema sembra quindi essersi complicato non poco, ma possiamo “fare un po’ di conto” e trovare una comoda soluzione.

Sviluppo e soluzione

Il modo più comodo per procedere è quello di considerare la variazione di volume dell’acqua nel recipiente: dovendo conservarsi la massa si ha che il volume d’acqua che si abbassa deve essere pari al volume di acqua che esce. Considerando elementi infinitesimi si può dunque scrivere:

\( \frac{\pi u(t)d^2 dt}{4}=-\frac{\pi D^2 dz}{4} \)

cioè il volume di altezza \(dx=u(t) dt\) e base \(d\) che esce è pari al volume di base \(D\) ed altezza \(dz\) che si abbassa. Essendo \(dt\) e \(dz\) dei differenziali essi sono dotati di segno, ed essendo il \(dt>0\) sicuramente, non può che essere dz<0: da qui il segno meno.
L’equazione ci dà uno spunto di riflessione: se vogliamo sapere quanto tempo ci vorrà per svuotare il recipiente, ci conviene rendere la velocità di svuotamento costante, e di conseguenza l’abbassamento. Facendo le dovute semplificazioni si ottiene:

\( \frac{dz}{dt}=-(\frac{d}{D})^2 u(t)=-(\frac{d}{D})^2 \sqrt{2g z(t)} \)

Da quest’ultima equazione vediamo quindi che la velocità di uscita \(u\) ed abbassamento \(dz/dt\) sono proporzionali a meno di fattori moltiplicativi. Se riusciamo a rendere la derivata di \(z\) costante il problema sarà praticamente risolto.
Leggendo bene l’uguaglianza si vede che la velocità \(u(t)\) è una funzione della radice di \(z\). Ciò suggerisce di agire sull’unica variabile che ha senso far variare con l’altezza, e cioè il diametro \(D\) del recipiente; in particolare, la funzione che descrive il diametro può essere espressa nel seguente modo:

\( D(z)=A \sqrt[4]{z} \)

con \(A\) una costante da determinare. Il fatto che \(z\) sia una radice quarta consente di eseguire la seguente ulteriore semplificazione:

\( \frac{dz}{dt}=-\frac{d^2 \sqrt{2g z}}{A^2 \sqrt{z}}=-\frac{d^2 \sqrt{2g}}{A^2} \)

Abbiamo così rimosso la dipendenza dalla variabile \(z\) e reso \(\frac{dz}{dt}\) una {costante}.

L’equazione appena scritta è una differenziale a variabili separabili: portiamo \(dt\) a secondo membro e risolviamo gli integrali

\(dz=-\frac{d^2 \sqrt{2g}}{A^2} dt\)
\(\int_{h}^{z} dz = \int_{0}^{t} -\frac{d^2 \sqrt{2g}}{A^2} dt \)
\( z(t)=h -\frac{d^2 \sqrt{2g}}{A^2} t \)

Questa è la funzione esatta di abbassamento del pelo libero dell’acqua che si ha se \(D\) è espresso nella forma scritta precedentemente.

Possibili andamenti di r(z) al variare di T, h, d.

Tenendo conto del fatto che \(z(T)=0\) si determina la costante

\(A=d \sqrt{\frac{\sqrt{2g}T}{h}}\)

e dunque la forma finale del recipiente, che avrà un diametro

\(
D(z)=d \sqrt{\frac{\sqrt{2g}T}{h}} \sqrt[4]{z}
\label{eq:n10}
\)

dove con \(T\) indichiamo il tempo finale (cioè quello per cui il serbatoio si svuota tutto).

Calcolo dimensionale

Per verificare se la funzione trovata è effettivamente un diametro, quindi espresso in un’unità di lunghezza, possiamo risolvere l'{equazione dimensionale} associata:

\(m=m\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{m}{s^2}}s}{m}} m^{\frac{1}{4}}=m\sqrt{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m}} m^{\frac{1}{4}}=m^{\frac{5}{4}} \sqrt{m^{-\frac{1}{2}}}=m^{\frac{5}{4}} m^{-\frac{1}{4}}=m^{\frac{4}{4}}=m\)

Ipotesi velocità trascurabile

Abbiamo visto che \(u(t)\) e \(\frac{dz}{dt}\) sono proporzionali a meno del fattore \(-\frac{d^2}{D^2}\). Ciò suggerisce che se \(D=cost\) e \(D\gg d\) (circa 5-10 volte) allora si ha \(\frac{dz}{dt}\sim 0\) e l’approssimazione \(u_A=0\) risulta accettabile.

 

La forma finale di metà clessidra.

Vista 3D.

 

Fonti

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One Response to Progettiamo una clessidra ad acqua

  1. Roques ha detto:

    très intéressant, je vais essayer à la construire.

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