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aprile 13, 2018 Commenti (0) Matematica, Scienza Tempo di Lettura:

Quando la logica non aiuta

Il paradosso di Monty-Hall

Vi trovate in uno show televisivo, Let’s Make a Deal di Monty Hall per giocare ad un famoso gioco a premi. La meccanica di base è questa: vi sono tre porte chiuse e dietro a ognuna delle porte c’è un oggetto. Il totale degli oggetti è tre: due capre e una macchina sportiva. All’inizio del gioco il concorrente sceglie casualmente una delle tre porte. Il presentatore, che sa sempre cosa si trova dietro ad ognuna delle porte, ne apre una dove c’è sicuramente una capra, lasciando il concorrente di fronte a due porte chiuse.

A questo punto del gioco, il conduttore televisivo pone una domanda al concorrente:

“Vorresti cambiare la porta che hai scelto con l’altra porta rimasta chiusa?”

Se state pensando “Che cambia? Tanto le possibilità di vincere e perdere sono le stesse, cioè il 50%” probabilmente adesso state cercando su Google “Come produrre il formaggio caprino” o “Come mantenere una capra nel giardino di casa”.
Infatti, le cose non stanno proprio così.

Il gioco televisivo che ha ispirato il famoso rompicapo.

Dove sta il trucco

La peculiarità di questo gioco è che cambiando sempre la scelta iniziale aumentano le probabilità di uscirne vincitori e seduti in una bella macchina sportiva.

La situazione iniziale che si presenta al concorrente è quella di figura. Non è difficile capire che, per ogni porta, c’è la probabilità del 33,3% di vincere.

Nel momento in cui si sceglie, ad esempio, la porta A, si assegna all’insieme delle porte B e C la probabilità del 66,7% di sconfitta.

Quando il presentatore va ad aprire, ad esempio, la porta B, rivelando la presenza di una capra, la situazione non è affatto cambiata: la scelta iniziale non viene modificata da questo evento, quindi le probabilità di vittoria restano sempre del 33,3%, contro la probabilità del 66,7% di sconfitta ora assegnata alla sola porta rimasta chiusa, cioè la C.

A questo punto lo “scettico medio” sosterrà ancora che le probabilità siano del 50/50. Non c’è da sorprendersi, in quanto la risposta a questo quesito è completamente contro-intuitiva, essendo invece basata sulla statistica.

Una prima spiegazione si può dare tenendo conto del fatto che il presentatore sa sempre cosa c’è dietro le porte: il fatto che abbia aperto una porta del gruppo “perdente” mostra al giocatore che la probabilità di vincere aumenta se si sceglie l’altra porta chiusa.

Con solo tre porte non è ancora facile visualizzare il concetto.

Ripetendo lo stesso gioco con un mazzo di carte da poker e supponendo di dover trovare il K di quadri per vincere la partita, il concorrente sceglie una delle 52 carte coperte, e il presentatore scopre 50 delle 51 carte rimaste coperte, tutte diverse dal K di quadri (perché lui sa sempre dove si trova). A questo punto, il conduttore propone lo scambio e viene più naturale pensare di accettare, in quanto al concorrente sono state mostrate tutte le altre 51 carte dove era più probabile che si trovasse il K – essendoci infatti più possibilità rispetto al gruppo di carte scelto da lui, cioè una singola carta.

Approccio sistematico per i più testardi

Se anche a questo punto non siete ancora convinti, la non correttezza dell’idea del 50/50 può essere dimostrata giocando migliaia di partite e vedendo i “dati sperimentali”.

Si può programmare facilmente al computer una serie di scenari.

Il primo scenario analizzato è quello delle possibilità nella singola partita. Il concorrente viene programmato per selezionare tutte le porte, dalla prima all’ultima in ordine crescente, una alla volta. La condizione imposta è quindi che la macchina si trovi sempre dietro la stessa porta ad ogni iterazione, come se venisse tentata tutte le volte la stessa partita.

In MATLAB il codice è il seguente:

L’output del programma mostra chiaramente come cambiare la scelta iniziale si riveli una strategia vincente due volte su tre, o 99 su 100 (impostando nel codice sopra m=100):


Si può simulare anche una situazione più realistica, dove ad ogni partita la posizione della macchina e la scelta del concorrente vengono selezionate casualmente. Il codice che svolge la funzione è il seguente:

Anche introducendo una certa casualità al processo, il risultato è sempre che cambiare la scelta iniziale è la migliore strategia di successo, come si vede nelle seguenti 5 esecuzioni del programma:

Fonti delle immagini

https://rohanurich.files.wordpress.com/2013/03/mhp-all-closed2.png

https://www.gannett-cdn.com/-mm-/4abb69368ac8c05471236375d763beb2e8cc2493/c=0-0-668-502&r=x393&c=520×390/local/-/media/2017/09/30/USATODAY/USATODAY/636423937425139027-XXX-D4-MONTY-HALL-27-TV.jpg

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